Przekątna kwadratu i trójkąt prostokątny równoramienny

Zbadajmy, co wspólnego mają ze sobą przekątna kwadratu i trójkąt prostokątny równoramienny.

Przekątna kwadratu, oznaczana literą d, tworzy bardzo ciekawy związek z bokiem kwadratu. Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne, których przyprostokątne są bokami kwadratu, a przeciwprostokątna - przekątną kwadratu.

Jeśli przyjmiemy, że długość boku kwadratu to a, to długość każdej z przyprostokątnych tych trójkątów również będzie równa a. Twierdzenie Pitagorasa mówi nam, że suma kwadratów długości przyprostokątnych równa się kwadratowi długości przeciwprostokątnej, czyli w tym przypadku przekątnej kwadratu.
Możemy przedstawić to za pomocą równania a² + a² = d², co w uproszczeniu daje 2a² = d²
Pierwiastkując obie strony równania dowiadujemy, że d jest równe a√2.
Dlatego wzór na przekątną kwadratu to a√2.

Zróbmy kilka zadań korzystając z poznanego właśnie wzoru.

Bok kwadratu ma długość 3 cm. Oblicz długość przekątnej kwadratu.
Podstawiając długość boku kwadratu do wzoru otrzymujemy d = 3 cm ⋅ √2. To się równa 3√2 cm.
Przekątna tego kwadratu ma długość 3√2 cm.

Kolejne zadanie. Bok kwadratu ma długość 7 cm. Oblicz długość przekątnej kwadratu.
d = a√2
Zatem d = 7 cm ⋅ √2. To się równa 7√2 cm.
Przekątna tego kwadratu ma długość 7√2 cm.

Teraz obliczmy długość boku kwadratu, którego przekątna ma długość 10 cm.
Korzystając ze wzoru d = a√2 ​, zapisujemy, że 10 cm = a√2.
Aby dowiedzieć się ile wynosi a, dzielimy obie strony równania przez √2.
Czyli 10 cm podzielone przez √2 równa się a.
Aby pozbyć się pierwiastka z ułamka, mnożymy jego licznik i mianownik przez √2 .To daje nam 10√2 cm = a.
Po skróceniu 10 i 2 otrzymujemy 5√2 cm = a.
Bok tego kwadratu ma długość 5√2 cm.